Racket: Сворачивание списков, функции свёртки foldl и foldr

Функции map и filter обрабатывают списки, сохраняя саму структуру. Но иногда нужно избавиться от этой самой структуры, вычислив какое-то итоговое значение. Простейший пример — сумма всех чисел в списке. Или текст, собранный из списка строк.

В процедурных языках для получения итоговых значений по списку проходят с использованием цикла и промежуточный результат хранят в отдельной переменной — в так называемом аккумуляторе.

Декларативным же аналогом такого цикла будет операция сворачивания (folding) или, как ещё говорят, получение свёртки (fold). Суть сворачивания списка заключается в последовательном применении некоторой бинарной операции к очередному элементу списка и текущему значению аккумулятора у с целью получить новое значение аккумулятора. Давайте рассмотрим процесс сворачивания списка (list 1 2 3 4) в сумму чисел. Начальным значением аккумулятора будет 0, а операцией — +. Сложить числа можно как минимум двумя способами:

1. Двигаясь от первого элемента к последнему, слева направо.

  (((0 + 1) + 2) + 3) + 4

1. Двигаясь от последнего элемента к первому, справа налево.

  1 + (2 + (3 + (4 + 0)))

Для операции сложения не имеет значения то, какой из вариантов мы выберем, потому что операция сложения ассоциативна. Но далеко не все операции таковы: например, при конкатенации строк важно, последнюю мы будем с первой складывать или наоборот!

Поэтому в Racket существуют оба способа сворачивания в виде функций foldl и foldr — левая и правая свёртки (способы "1" и "2" соответственно).

(foldr + 0 (list 1 2 3)) ; 6
(foldl + 0 (list 1 2 3)) ; 6

Тут всё понятно: сложение ассоциативно, вот и суммы сошлись. Усложним задачу: будем выводить каждое новое значение на экран, игнорируя аккумулятор:

(define (f x acc)
  (displayln x))

(foldr f (void) (list 1 2 3))
; => 3
; => 2
; => 1

(foldl f (void) (list 1 2 3))
; => 1
; => 2
; => 3

Разница налицо!

В большинстве случаев используют левую свёртку (foldl), потому что она более интуитивна — двигается от первого элемента к последнему — и работает эффективнее. Однако иногда полезна именно правая foldr, поэтому в стандартной библиотеке есть и она.

Стоит напоследок упомянуть, что foldl и foldr могут обходить несколько списков одновременно — так же, как это делает map. Списки при этом должны иметь одинаковую длину, а функция-аргумент должна принимать n+1 аргументов для n списков: по одному элементу от каждого списка плюс аккумулятор. Вот пример такого использования левой свёртки:

 (define (f greeting name acc)
   (string-append acc greeting ", " name "!\n"))

 (display
   (foldl f ""
            (list "Hello" "Hi" "Good day")
            (list "Bob" "Alice" "Tom")))
 ; => Hello, Bob!
 ; => Hi, Alice!
 ; => Good day, Tom!
 ; =>

Задание

Реализуйте функцию max-delta, которая должна принимать два списка чисел и вычислять максимальную разницу (абсолютное значение разницы) между соответствующими парами элементов.

Пример использования:

(max-delta
  (list 10 -15 35)
  (list 2 -12 42)) ; 8

Вам пригодятся функции abs и max:

(abs 42)    ; 42
(abs -13)   ; 13
(max 1 5 3) ; 5